変動値の従う分布(4)

R ドル円 為替 統計

denovor.hatenablog.com
denovor.hatenablog.com
denovor.hatenablog.com

  • これまでのまとめとして、ドル円の変動値の基本要約量を計算しておく。
  • 以下は順に平均、標準偏差、歪度、尖度となる。
d <- read.csv("~/Documents/FX/USDJPY/USDJPYD.csv")

co <- d$closing-d$opening
ho <-d$high-d$opening
ol <- d$low-d$opening
oo <- diff(d$opening, lag = 1)

#対数正規分布を用いるために0を0.01に変換しておく
ho <- replace(ho, which(ho == 0), 0.01)
ol <- replace(ol, which(ol == 0), -0.01)

#順に平均、標準偏差、歪度、尖度
new_summary <- function (x) {
  return(
  list = c(mean(x), sd(x), skewness(x), kurtosis(x))
  )
}

new_summary(co)
new_summary(ho)
new_summary(ol)
new_summary(oo)
  • 結果は以下。
> new_summary(co)
[1] -0.001664452  0.655583367 -0.117969245  7.450300434
> new_summary(ho)
[1]  0.4350133  0.4404715  2.5514705 15.4644506
> new_summary(ol)
[1] -0.4936977  0.5329145 -3.6730693 30.3727462
> new_summary(oo)
[1] -0.001831173  0.669821599 -0.153337597  7.581648452
  • （終値-始値）および（翌日の始値-当日の始値）はそれぞれ自由度6のt分布、（高値-始値）および（始値-安値）は指数分布に当てはまるとしたのであった。
  • t分布の標準偏差は自由度vが2以上のときに\sqrt{\frac{v}{v-2}}となる。歪度はv>3のときは常に0、尖度はv>4の時\frac{6}{v-4}となる。
  • したがって、まず尖度から決めると、\frac{6}{v-4}=7.5と解いて、v=4.8として、スケールを\frac{1}{2}とすれば良い。
  • 高値と安値の方は、指数分布\beta\exp(-\beta y)の平均が\frac{1}{\beta}であることから、\beta = 0.2とすれば良い。

変動値の従う分布(3)

R 為替 ドル円

denovor.hatenablog.com

  • 前回の続き。Cullne and Frey plotからはドル円の（高値-始値）および（始値-安値）は対数正規分布に当てはまりが良さそうであることがわかった。
  • fitdistで分布を確認しておく。
d <- read.csv("~/Documents/FX/USDJPY/USDJPYD.csv")

co <- d$closing-d$opening
ho <-d$high-d$opening
ol <- d$low-d$opening
oo <- diff(d$opening, lag = 1)

#対数正規分布を用いるために0を0.01に変換しておく
ho <- replace(ho, which(ho == 0), 0.01)
ol <- replace(ol, which(ol == 0), -0.01)

fit1 <- fitdist(ho, "norm")
fit2 <- fitdist(ho, "exp")
fit3 <- fitdist(ho, "lnorm")
gofstat(list(fit1, fit2, fit3), fitnames = c("norm", "exp", "Lognormal"))

fit4 <- fitdist(-ol, "norm")
fit5 <- fitdist(-ol, "exp")
fit6 <- fitdist(-ol, "lnorm")
gofstat(list(fit4, fit5, fit6), fitnames = c("norm", "exp", "Lognormal"))
  • 重要なのは対数正規分布を用いるので、データの中で0になる部分を影響が出ないように0.01（ドル円だと0.1銭）に置き換えていることである。
  • 結果は以下のようになる。上が（高値-始値）、下が（始値-安値）である。
Goodness-of-fit statistics
                                   norm       exp   Lognormal
Kolmogorov-Smirnov statistic  0.1672559 0.0227256  0.07605878
Cramer-von Mises statistic   24.0586246 0.2497171  5.26195064
Anderson-Darling statistic          Inf 2.4998433 35.49801968

Goodness-of-fit criteria
                                   norm     exp Lognormal
Akaike's Information Criterion 3609.154 1011.08  1356.718
Bayesian Information Criterion 3621.173 1017.09  1368.737

Goodness-of-fit statistics
                                   norm        exp   Lognormal
Kolmogorov-Smirnov statistic  0.1819928 0.02441634  0.07951322
Cramer-von Mises statistic   27.5439694 0.37319902  5.55319056
Anderson-Darling statistic          Inf 3.17527521 36.01890155

Goodness-of-fit criteria
                                   norm      exp Lognormal
Akaike's Information Criterion 4756.056 1772.892  2081.480
Bayesian Information Criterion 4768.076 1778.901  2093.499
  • どちらの場合も、検定値やAICを見ると、対数正規分布よりは指数分布の方が当てはまりが良さそうである。
  • 図示は以下のようになる。左が指数分布、右が対数正規分布である。上下は上が高値、下が安値である。

f:id:denovor:20181031225350p:plain

変動値の従う分布(2)

R 為替 ドル円

denovor.hatenablog.com

  • こちらの記事ではドル円の1日の変動と正規分布やCauchy、指数分布への当てはまりを考察した。
  • 今回は、いかなる分布が最も良い当てはまりとなるのかを考えてみる。
  • fitdistrplusパッケージのdescdistを用いる。
  • （翌日の始値-当日の始値）も設定しておく（理論的には（当日の終値=翌日の始値）となるが、週末などギャップ（窓）が生じることもあるので）。
d <- read.csv("~/Documents/FX/USDJPY/USDJPYD.csv")

co <- d$closing-d$opening
ho <-d$high-d$opening
ol <- d$low-d$opening
oo <- diff(d$opening, lag = 1)

descdist(co, boot = 1000)
descdist(ho, boot = 1000)
descdist(ol, boot = 1000)
descdist(oo, boot = 1000)
  • Cullen and Freyの結果はこちら。

f:id:denovor:20181031194711p:plain

  • これを見ると、（高値-始値）および（始値-安値）は対数正規分布への当てはまりが良さそうである。
  • （終値-始値）および（翌日の始値-当日の始値）は当てはまる良い分布は一覧の中からは無さそうである。
  • そこで、t分布を代用できないか検討してみる。t分布の歪度（3次のモーメント）は自由度が高まると0に収束するからである。
k <- 30 #自由度の最大値の設定
x <- array(rep(0, k)) #歪度を入れる配列
y <- array(rep(0, k)) #尖度を入れる配列

for ( i in 3:k) {
  random_data <- rt(1000000, i) #1,000,000までのt分布に従う乱数の設定
  x[i] <- skewness(random_data) #歪度を代入
  y[i] <- kurtosis(random_data) #尖度を代入
}

x
y

> x
 [1]  0.0000000000  0.0000000000 -0.2250361592 -0.1583386859
 [5]  0.0289653880 -0.0102002463  0.0005842145 -0.0011316503
 [9]  0.0038441844  0.0060417318 -0.0009067284  0.0019035279
[13] -0.0046501525 -0.0014046954 -0.0005866513  0.0017743852
[17]  0.0007997743  0.0063177695  0.0020007963  0.0051682809
[21] -0.0006535019  0.0001786988 -0.0044503054  0.0053827387
[25] -0.0024208226 -0.0024442228  0.0056115286 -0.0044400234
[29]  0.0061474931 -0.0045200204
> y
 [1]   0.000000   0.000000 235.979663  19.873776   8.214593
 [6]   6.071697   4.989947   4.556066   4.159974   3.972367
[11]   3.854875   3.735797   3.659998   3.583152   3.541952
[16]   3.501044   3.466755   3.422839   3.400555   3.356011
[21]   3.346898   3.328669   3.312828   3.302193   3.285795
[26]   3.276926   3.265179   3.264603   3.245709   3.237856
  • 結果は上記の通りで、自由度は5、あるいは6とするのが良さそうである。

変動値の従う分布

ドル円 為替 R

denovor.hatenablog.com

  • それではドル円の分布はどのような確率密度関数に従うのか。
  • ここでは（終値-始値）だけではなく、(高値-始値)および(始値-安値)の分布の形状を調べてみる。
  • fitdistrplusパッケージを用いる。
  • まずは分布の可視化から。
d <- read.csv("~/Documents/FX/USDJPY/USDJPYD.csv")

co <- d$closing-d$opening
ho <-d$high-d$opening
ol <- d$low-d$opening
new_data <- data.frame(ho, ol)

ggplot() + theme_set(theme_bw(base_size = 14))
g <- ggplot(new_data)
g <- g + geom_histogram(aes(x = new_data$ho, fill = "high-opening"), binwidth = 0.1)
g <- g + geom_histogram(aes(x = new_data$ol, fill = "opening-low"), binwidth = 0.1)
g <- g + labs(fill = "high_low")
plot(g)

f:id:denovor:20181031152909p:plain

  • 正規分布には従わない印象であるが、念のためにShapiro-Wilk検定を行っておく。
shapiro.test(ho)
shapiro.test(ol)
  • 結果は以下。正規分布に従うという仮説は棄却される。
Shapiro-Wilk normality test

data:  ho
W = 0.78896, p-value < 2.2e-16
data:  ol
W = 0.72506, p-value < 2.2e-16
  • そこで、コーシー分布と指数分布への当てはまりを確認してみる。まずは(高値-始値)から。
fit1 <- fitdist(ho, "norm")
fit2 <- fitdist(ho, "cauchy")
fit3 <- fitdist(ho, "exp")
gofstat(list(fit1, fit2, fit3), fitnames = c("norm", "cauchy", "exp"))
  • 結果は以下。
Goodness-of-fit statistics
                                   norm      cauchy        exp
Kolmogorov-Smirnov statistic  0.1619078   0.1914885 0.02524917
Cramer-von Mises statistic   23.8853432  21.7252403 0.25699176
Anderson-Darling statistic          Inf 145.2124529        Inf

Goodness-of-fit criteria
                                   norm   cauchy      exp
Akaike's Information Criterion 3612.521 3067.788 1007.585
Bayesian Information Criterion 3624.540 3079.807 1013.595
  • 指数分布に良い当てはまりを見せている事がわかる。
  • （始値-安値）でも同様に。ただし、値にマイナスをかけておくのを忘れないように。
fit4 <- fitdist(-ol, "norm")
fit5 <- fitdist(-ol, "cauchy")
fit6 <- fitdist(-ol, "exp")
gofstat(list(fit4, fit5, fit6), fitnames = c("norm", "cauchy", "exp"))

Goodness-of-fit statistics
                                   norm      cauchy        exp
Kolmogorov-Smirnov statistic  0.1772351   0.1884551 0.02448435
Cramer-von Mises statistic   27.4343857  20.7339731 0.37108041
Anderson-Darling statistic          Inf 139.0491252        Inf

Goodness-of-fit criteria
                                   norm   cauchy      exp
Akaike's Information Criterion 4757.880 3722.788 1770.744
Bayesian Information Criterion 4769.899 3734.808 1776.754
  • こちらも指数分布に良い当てはまりがありそうだ。ともに図示しておく。上が（高値-始値）。

f:id:denovor:20181031154122p:plainf:id:denovor:20181031154143p:plain

  • 最後に（終値-始値）の解析。こちらは分布にコーシー分布を仮定する。
fit7 <- fitdist(co, "norm")
fit8 <- fitdist(co, "cauchy")
gofstat(list(fit7, fit8), fitnames = c("norm", "cauchy"))
  • 結果および図示はこちら。

f:id:denovor:20181031155850p:plain

Goodness-of-fit statistics
                                   norm      cauchy
Kolmogorov-Smirnov statistic  0.0667175  0.05095561
Cramer-von Mises statistic    4.6610269  1.42581370
Anderson-Darling statistic   26.6377431 20.49125071

Goodness-of-fit criteria
                                   norm   cauchy
Akaike's Information Criterion 6003.186 6115.888
Bayesian Information Criterion 6015.206 6127.907
[f:id:denovor:20181031155850p:plain]
  • AICをみるとどうも正規分布よりも当てはまりは悪そうである。

ドル円の変動

  • ドル円の(終値-始値)の変動の分布を描く。
  • 正規性の検定をShapiro-Wilk検定で行う。
d <- read.csv("~/Documents/FX/USDJPY/USDJPYD.csv")

co <- d$closing-d$opening
new_data <- data.frame(co)

ggplot() + theme_set(theme_bw(base_size = 14))
g <- ggplot(new_data, aes(x = new_data$co))
g <- g + geom_histogram(binwidth = 0.1)
g <- g + xlab("closing-opening")
plot(g)
  • 結果は以下。

f:id:denovor:20181029222807p:plain

  • Shapiro-Wilk検定は次のコードで簡単に行える。
shapiro.test(co)

Shapiro-Wilk normality test

data:  co
W = 0.95404, p-value < 2.2e-16

単位根過程（その2）

為替
  • 前回と同じであるが、ADF検定も行っておく。

denovor.hatenablog.com

> summary(ur.df(d$closing, type = "none"))

############################################### 
# Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
############################################### 

Test regression none 


Call:
lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-3.6601 -0.3179  0.0021  0.3462  5.1917 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
z.lag.1    -4.629e-05  1.189e-04  -0.389   0.6971  
z.diff.lag -3.363e-02  1.823e-02  -1.844   0.0652 .
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.6638 on 3002 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.001182,	Adjusted R-squared:  0.000517 
F-statistic: 1.777 on 2 and 3002 DF,  p-value: 0.1693


Value of test-statistic is: -0.3893 

Critical values for test statistics: 
      1pct  5pct 10pct
tau1 -2.58 -1.95 -1.62
  • value of test-statistic の絶対値が棄却域の絶対値を下回っており、単位根を有するという帰無仮説が棄却することができない。すなわち、ドル円終値の時系列データは単位根過程である。

差分系列

  • 前回の記事ではドル円終値の時系列データが単位根過程であることがわかった。

denovor.hatenablog.com

  • 1階差分を取れば良いので、差分データの図示を示す。

f:id:denovor:20181027193856p:plain

  • 単位根が消失したことがグラフから分かるが、自己相関が見られる箇所もある。